statistics --- 數(shù)學統(tǒng)計函數(shù)?

平均值以及對中心位置的評估?

這些函數(shù)用于計算一個總體或樣本的平均值或者典型值。

對分散程度的評估?

這些函數(shù)用于計算總體或樣本與典型值或平均值的偏離程度。

對兩個輸入之間關(guān)系的統(tǒng)計?

這些函數(shù)計算兩個輸入之間關(guān)系的統(tǒng)計值。

函數(shù)細節(jié)?

注釋：這些函數(shù)不需要對提供給它們的數(shù)據(jù)進行排序。但是，為了方便閱讀，大多數(shù)例子展示的是已排序的序列。

statistics.mean(data)?

返回 data 的樣本算術(shù)平均數(shù)，形式為序列或迭代器。

算術(shù)平均數(shù)是數(shù)據(jù)之和與數(shù)據(jù)點個數(shù)的商。通常稱作“平均數(shù)”，盡管它指示諸多數(shù)學平均數(shù)之一。它是數(shù)據(jù)的中心位置的度量。

若 data 為空，將會引發(fā) StatisticsError。

一些用法示例：

>>>

>>> mean([1, 2, 3, 4, 4])
2.8
>>> mean([-1.0, 2.5, 3.25, 5.75])
2.625

>>> from fractions import Fraction as F
>>> mean([F(3, 7), F(1, 21), F(5, 3), F(1, 3)])
Fraction(13, 21)

>>> from decimal import Decimal as D
>>> mean([D("0.5"), D("0.75"), D("0.625"), D("0.375")])
Decimal('0.5625')

備注

The mean is strongly affected by outliers and is not necessarily a typical example of the data points. For a more robust, although less efficient, measure of central tendency, see median().

樣本均值給出了一個無偏向的真實總體均值的估計，因此當平均抽取所有可能的樣本， mean(sample) 收斂于整個總體的真實均值。如果 data 代表整個總體而不是樣本，那么 mean(data) 等同于計算真實整體均值 μ 。

statistics.fmean(data, weights=None)?

將 data 轉(zhuǎn)換成浮點數(shù)并且計算算術(shù)平均數(shù)。

此函數(shù)的運行速度比 mean() 函數(shù)快并且它總是返回一個 float。 data 可以為序列或可迭代對象。 如果輸入數(shù)據(jù)集為空，則會引發(fā) StatisticsError。

>>>

>>> fmean([3.5, 4.0, 5.25])
4.25

Optional weighting is supported. For example, a professor assigns a grade for a course by weighting quizzes at 20%, homework at 20%, a midterm exam at 30%, and a final exam at 30%:

>>>

>>> grades = [85, 92, 83, 91]
>>> weights = [0.20, 0.20, 0.30, 0.30]
>>> fmean(grades, weights)
87.6

If weights is supplied, it must be the same length as the data or a ValueError will be raised.

3.8 新版功能.

在 3.11 版更改: 添加了對 weights 的支持。

statistics.geometric_mean(data)?

將 data 轉(zhuǎn)換成浮點數(shù)并且計算幾何平均數(shù)。

幾何平均值使用值的乘積表示 數(shù)據(jù) 的中心趨勢或典型值（與使用它們的總和的算術(shù)平均值相反）。

如果輸入數(shù)據(jù)集為空、包含零或包含負值則將引發(fā) StatisticsError。 data 可以是序列或可迭代對象。

無需做出特殊努力即可獲得準確的結(jié)果。（但是，將來或許會修改。）

>>>

>>> round(geometric_mean([54, 24, 36]), 1)
36.0

3.8 新版功能.

statistics.harmonic_mean(data, weights=None)?

返回包含實數(shù)值的序列或可迭代對象 data 的調(diào)和平均數(shù)。 如果 weights 被省略或為 None，則會假定權(quán)重相等。

調(diào)和平均數(shù)是數(shù)據(jù)的倒數(shù)的算術(shù)平均值 mean() 的倒數(shù)。 例如，三個數(shù)值 a, b 和 c 的調(diào)和平均數(shù)將等于 3/(1/a + 1/b + 1/c)。 如果其中一個值為零，則結(jié)果也將為零。

調(diào)和平均數(shù)是均值的一種，是對數(shù)據(jù)的中心位置的度量。 它通常適用于求比率和比例（如速度）的均值。

假設一輛車在 40 km/hr 的速度下行駛了 10 km ，然后又以 60 km/hr 的速度行駛了 10 km 。車輛的平均速率是多少？

>>>

>>> harmonic_mean([40, 60])
48.0

假設一輛汽車以速度 40 公里/小時行駛了 5 公里，當?shù)缆纷兊脮惩ê?，提速?60 公里/小時行駛了行程中剩余的 30 km。 請問其平均速度是多少？

>>>

>>> harmonic_mean([40, 60], weights=[5, 30])
56.0

如果 data 為空、任意元素小于零，或者加權(quán)匯總值不為正數(shù)則會引發(fā) StatisticsError。

當前算法在輸入中遇到零時會提前退出。這意味著不會測試后續(xù)輸入的有效性。（此行為將來可能會更改。）

3.6 新版功能.

在 3.10 版更改: 添加了對 weights 的支持。

statistics.median(data)?

使用普通的“取中間兩數(shù)平均值”方法返回數(shù)值數(shù)據(jù)的中位數(shù)（中間值）。 如果 data 為空，則將引發(fā) StatisticsError。 data 可以是序列或可迭代對象。

中位數(shù)是衡量中間位置的可靠方式，并且較少受到極端值的影響。 當數(shù)據(jù)點的總數(shù)為奇數(shù)時，將返回中間數(shù)據(jù)點：

>>>

>>> median([1, 3, 5])
3

當數(shù)據(jù)點的總數(shù)為偶數(shù)時，中位數(shù)將通過對兩個中間值求平均進行插值得出：

>>>

>>> median([1, 3, 5, 7])
4.0

這適用于當你的數(shù)據(jù)是離散的，并且你不介意中位數(shù)不是實際數(shù)據(jù)點的情況。

如果數(shù)據(jù)是有序的（支持排序操作）但不是數(shù)字（不支持加法），請考慮改用 median_low() 或 median_high()。

statistics.median_low(data)?

返回數(shù)值數(shù)據(jù)的低中位數(shù)。 如果 data 為空則將引發(fā) StatisticsError。 data 可以是序列或可迭代對象。

低中位數(shù)一定是數(shù)據(jù)集的成員。 當數(shù)據(jù)點總數(shù)為奇數(shù)時，將返回中間值。 當其為偶數(shù)時，將返回兩個中間值中較小的那個。

>>>

>>> median_low([1, 3, 5])
3
>>> median_low([1, 3, 5, 7])
3

當你的數(shù)據(jù)是離散的，并且你希望中位數(shù)是一個實際數(shù)據(jù)點而非插值結(jié)果時可以使用低中位數(shù)。

statistics.median_high(data)?

返回數(shù)據(jù)的高中位數(shù)。 如果 data 為空則將引發(fā) StatisticsError。 data 可以是序列或可迭代對象。

高中位數(shù)一定是數(shù)據(jù)集的成員。 當數(shù)據(jù)點總數(shù)為奇數(shù)時，將返回中間值。 當其為偶數(shù)時，將返回兩個中間值中較大的那個。

>>>

>>> median_high([1, 3, 5])
3
>>> median_high([1, 3, 5, 7])
5

當你的數(shù)據(jù)是離散的，并且你希望中位數(shù)是一個實際數(shù)據(jù)點而非插值結(jié)果時可以使用高中位數(shù)。

statistics.median_grouped(data, interval=1)?

返回分組的連續(xù)數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)第 50 個百分點的位置使用插值來計算。 如果 data 為空則將引發(fā) StatisticsError。 data 可以是序列或可迭代對象。

>>>

>>> median_grouped([52, 52, 53, 54])
52.5

在下面的示例中，數(shù)據(jù)已經(jīng)過舍入，這樣每個值都代表數(shù)據(jù)分類的中間點，例如 1 是 0.5--1.5 分類的中間點，2 是 1.5--2.5 分類的中間點，3 是 2.5--3.5 的中間點等待。 根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，中間值應落在 3.5--4.5 分類之內(nèi)，并可使用插值法來進行估算：

>>>

>>> median_grouped([1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5])
3.7

可選參數(shù) interval 表示分類間隔，默認值為 1。 改變分類間隔自然會改變插件結(jié)果：

>>>

>>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=1)
3.25
>>> median_grouped([1, 3, 3, 5, 7], interval=2)
3.5

此函數(shù)不會檢查數(shù)據(jù)點之間是否至少相隔 interval 的距離。

CPython implementation detail: 在某些情況下，median_grouped() 可以會將數(shù)據(jù)點強制轉(zhuǎn)換為浮點數(shù)。 此行為在未來有可能會發(fā)生改變。

參見

• "Statistics for the Behavioral Sciences", Frederick J Gravetter and Larry B Wallnau (8th Edition).

• Gnome Gnumeric 電子表格中的 SSMEDIAN 函數(shù)，包括 這篇討論。

statistics.mode(data)?

從離散或標稱的 data 返回單個出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)點。 此眾數(shù)（如果存在）是最典型的值，并可用來度量中心的位置。

如果存在具有相同頻率的多個眾數(shù)，則返回在 data 中遇到的第一個。 如果想要其中最小或最大的一個，請使用 min(multimode(data)) 或 max(multimode(data))。 如果輸入的 data 為空，則會引發(fā) StatisticsError。

mode 將假定是離散數(shù)據(jù)并返回一個單一的值。 這是通常的學校教學中標準的處理方式：

>>>

>>> mode([1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4])
3

此眾數(shù)的獨特之處在于它是這個包中唯一還可應用于標稱（非數(shù)字）數(shù)據(jù)的統(tǒng)計信息：

>>>

>>> mode(["red", "blue", "blue", "red", "green", "red", "red"])
'red'

在 3.8 版更改: 現(xiàn)在會通過返回所遇到的第一個眾數(shù)來處理多模數(shù)據(jù)集。 之前它會在遇到超過一個的眾數(shù)時引發(fā) StatisticsError。

statistics.multimode(data)?

返回最頻繁出現(xiàn)的值的列表，并按它們在 data 中首次出現(xiàn)的位置排序。 如果存在多個眾數(shù)則將返回一個以上的眾數(shù)，或者如果 data 為空則將返回空列表：

>>>

>>> multimode('aabbbbccddddeeffffgg')
['b', 'd', 'f']
>>> multimode('')
[]

3.8 新版功能.

statistics.pstdev(data, mu=None)?

返回總體標準差（總體方差的平方根）。 請參閱 pvariance() 了解參數(shù)和其他細節(jié)。

>>>

>>> pstdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
0.986893273527251

statistics.pvariance(data, mu=None)?

返回非空序列或包含實數(shù)值的可迭代對象 data 的總體方差。 方差或稱相對于均值的二階距，是對數(shù)據(jù)變化幅度（延展度或分散度）的度量。 方差值較大表明數(shù)據(jù)的散布范圍較大；方差值較小表明它緊密聚集于均值附近。

如果給出了可選的第二個參數(shù) mu，它通常是 data 的均值。 它也可以被用來計算相對于一個非均值點的二階距。 如果該參數(shù)省略或為 None (默認值)，則會自動進行算術(shù)均值的計算。

使用此函數(shù)可根據(jù)所有數(shù)值來計算方差。 要根據(jù)一個樣本來估算方差，通常 variance() 函數(shù)是更好的選擇。

如果 data 為空則會引發(fā) StatisticsError。

示例：

>>>

>>> data = [0.0, 0.25, 0.25, 1.25, 1.5, 1.75, 2.75, 3.25]
>>> pvariance(data)
1.25

如果你已經(jīng)計算過數(shù)據(jù)的平均值，你可以將其作為可選的第二個參數(shù) mu 傳入以避免重復計算：

>>>

>>> mu = mean(data)
>>> pvariance(data, mu)
1.25

同樣也支持使用 Decimal 和 Fraction 值：

>>>

>>> from decimal import Decimal as D
>>> pvariance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
Decimal('24.815')

>>> from fractions import Fraction as F
>>> pvariance([F(1, 4), F(5, 4), F(1, 2)])
Fraction(13, 72)

備注

當調(diào)用時附帶完整的總體數(shù)據(jù)時，這將給出總體方差 σ2。 而當調(diào)用時只附帶一個樣本時，這將給出偏置樣本方差 s2，也被稱為帶有 N 個自由度的方差。

如果你通過某種方式知道了真實的總體平均值 μ，則可以使用此函數(shù)來計算一個樣本的方差，并將已知的總體平均值作為第二個參數(shù)。 假設數(shù)據(jù)點是總體的一個隨機樣本，則結(jié)果將為總體方差的無偏估計值。

statistics.stdev(data, xbar=None)?

返回樣本標準差（樣本方差的平方根）。 請參閱 variance() 了解參數(shù)和其他細節(jié)。

>>>

>>> stdev([1.5, 2.5, 2.5, 2.75, 3.25, 4.75])
1.0810874155219827

statistics.variance(data, xbar=None)?

返回包含至少兩個實數(shù)值的可迭代對象 data 的樣本方差。 方差或稱相對于均值的二階矩，是對數(shù)據(jù)變化幅度（延展度或分散度）的度量。 方差值較大表明數(shù)據(jù)的散布范圍較大；方差值較小表明它緊密聚集于均值附近。

如果給出了可選的第二個參數(shù) xbar，它應當是 data 的均值。 如果該參數(shù)省略或為 None (默認值)，則會自動進行均值的計算。

當你的數(shù)據(jù)是總體數(shù)據(jù)的樣本時請使用此函數(shù)。 要根據(jù)整個總體數(shù)據(jù)來計算方差，請參見 pvariance()。

如果 data 包含的值少于兩個則會引發(fā) StatisticsError。

示例：

>>>

>>> data = [2.75, 1.75, 1.25, 0.25, 0.5, 1.25, 3.5]
>>> variance(data)
1.3720238095238095

如果你已經(jīng)計算過數(shù)據(jù)的平均值，你可以將其作為可選的第二個參數(shù) xbar 傳入以避免重復計算：

>>>

>>> m = mean(data)
>>> variance(data, m)
1.3720238095238095

此函數(shù)不會試圖檢查你所傳入的 xbar 是否為真實的平均值。 使用任意值作為 xbar 可能導致無效或不可能的結(jié)果。

同樣也支持使用 Decimal 和 Fraction 值：

>>>

>>> from decimal import Decimal as D
>>> variance([D("27.5"), D("30.25"), D("30.25"), D("34.5"), D("41.75")])
Decimal('31.01875')

>>> from fractions import Fraction as F
>>> variance([F(1, 6), F(1, 2), F(5, 3)])
Fraction(67, 108)

備注

這是附帶貝塞爾校正的樣本方差 s2，也稱為具有 N-1 自由度的方差。 假設數(shù)據(jù)點具有代表性（即為獨立且均勻的分布），則結(jié)果應當是對總體方差的無偏估計。

如果你通過某種方式知道了真實的總體平均值 μ 則應當調(diào)用 pvariance() 函數(shù)并將該值作為 mu 形參傳入以得到一個樣本的方差。

statistics.quantiles(data, *, n=4, method='exclusive')?

將 data 分隔為具有相等概率的 n 個連續(xù)區(qū)間。 返回分隔這些區(qū)間的 n - 1 個分隔點的列表。

將 n 設為 4 以使用四分位（默認值）。 將 n 設為 10 以使用十分位。 將 n 設為 100 以使用百分位，即給出 99 個分隔點來將 data 分隔為 100 個大小相等的組。 如果 n 小于 1 則將引發(fā) StatisticsError。

data 可以是包含樣本數(shù)據(jù)的任意可迭代對象。 為了獲得有意義的結(jié)果，data 中數(shù)據(jù)點的數(shù)量應當大于 n。 如果數(shù)據(jù)點的數(shù)量小于兩個則將引發(fā) StatisticsError。

分隔點是通過對兩個最接近的數(shù)據(jù)點進行線性插值得到的。 例如，如果一個分隔點落在兩個樣本值 100 和 112 之間距離三分之一的位置，則分隔點的取值將為 104。

method 用于計算分位值，它會由于 data 是包含還是排除總體的最低和最高可能值而有所不同。

默認 method 是 “唯一的” 并且被用于在總體中數(shù)據(jù)采樣這樣可以有比樣本中找到的更多的極端值。落在 m 個排序數(shù)據(jù)點的第 i-th 個以下的總體部分被計算為 i / (m + 1) 。給定九個樣本值，方法排序它們并且分配一下的百分位： 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90% 。

將 method 設為 "inclusive" 可用于描述總體數(shù)據(jù)或已明確知道包含有總體數(shù)據(jù)中最極端值的樣本。 data 中的最小值會被作為第 0 個百分位而最大值會被作為第 100 個百分位。 總體數(shù)據(jù)里處于 m 個已排序數(shù)據(jù)點中 第 i 個 以下的部分會以 (i - 1) / (m - 1) 來計算。 給定 11 個樣本值，該方法會對它們進行排序并賦予以下百分位: 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100%。

>>>

# Decile cut points for empirically sampled data
>>> data = [105, 129, 87, 86, 111, 111, 89, 81, 108, 92, 110,
...         100, 75, 105, 103, 109, 76, 119, 99, 91, 103, 129,
...         106, 101, 84, 111, 74, 87, 86, 103, 103, 106, 86,
...         111, 75, 87, 102, 121, 111, 88, 89, 101, 106, 95,
...         103, 107, 101, 81, 109, 104]
>>> [round(q, 1) for q in quantiles(data, n=10)]
[81.0, 86.2, 89.0, 99.4, 102.5, 103.6, 106.0, 109.8, 111.0]

3.8 新版功能.

statistics.covariance(x, y, /)?

返回兩個輸入 x 和 y 的樣本協(xié)方差。 樣本協(xié)方差是對兩個輸入的同步變化性的度量。

兩個輸入必須具有相同的長度（不少于兩個元素），否則會引發(fā) StatisticsError。

示例：

>>>

>>> x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> y = [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
>>> covariance(x, y)
0.75
>>> z = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
>>> covariance(x, z)
-7.5
>>> covariance(z, x)
-7.5

3.10 新版功能.

statistics.correlation(x, y, /)?

返回兩個輸入的 皮爾遜相關(guān)系數(shù)。 皮爾遜相關(guān)系數(shù) r 的取值在 -1 到 +1 之間。 它衡量線性相關(guān)的強度和方向，其中 +1 表示非常強的正線性相關(guān)，-1 表示非常強的負線性相關(guān)，0 表示無線性相關(guān)。

兩個輸入必須具有相同的長度（不少于兩個元素），并且不必為常量，否則會引發(fā) StatisticsError。

示例：

>>>

>>> x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> y = [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
>>> correlation(x, x)
1.0
>>> correlation(x, y)
-1.0

3.10 新版功能.

statistics.linear_regression(x, y, /, *, proportional=False)?

返回使用普通最小二乘法估計得到的 簡單線性回歸 參數(shù)的斜率和截距。 簡單純屬回歸通過此線性函數(shù)來描述自變量 x 和因變量 y 之間的關(guān)系。

y = slope * x + intercept + noise

其中 slope 和 intercept 是估計得到的回歸參數(shù)，而 noise 代表不可由線性回歸解釋的數(shù)據(jù)變異性（它等于因變量的預測值和實際值之間的差異）。

兩個輸入必須具有相同的長度（不少于兩個元素），并且自變量 x 不可為常量；否則會引發(fā) StatisticsError。

例如，我們可以使用 Monty Python 系列電影的發(fā)布日期 在假定出品方保持現(xiàn)有步調(diào)的情況下預測到 2019 年時產(chǎn)出的 Monty Python 電影的累計數(shù)量。

>>>

>>> year = [1971, 1975, 1979, 1982, 1983]
>>> films_total = [1, 2, 3, 4, 5]
>>> slope, intercept = linear_regression(year, films_total)
>>> round(slope * 2019 + intercept)
16

If proportional is true, the independent variable x and the dependent variable y are assumed to be directly proportional. The data is fit to a line passing through the origin. Since the intercept will always be 0.0, the underlying linear function simplifies to:

y = slope * x + noise

3.10 新版功能.

在 3.11 版更改: Added support for proportional.

異常?

只定義了一個異常：

exception statistics.StatisticsError?

ValueError 的子類，表示統(tǒng)計相關(guān)的異常。

NormalDist 對象?

NormalDist 工具可用于創(chuàng)建和操縱 隨機變量 的正態(tài)分布。 這個類將數(shù)據(jù)度量值的平均值和標準差作為單一實體來處理。

正態(tài)分布的概念來自于 中央極限定理 并且在統(tǒng)計學中有廣泛的應用。

class statistics.NormalDist(mu=0.0, sigma=1.0)?

返回一個新的 NormalDist 對象，其中 mu 代表 算術(shù)平均值 而 sigma 代表 標準差。

若 sigma 為負數(shù)，將會引發(fā) StatisticsError。

mean?

一個只讀特征屬性，表示特定正態(tài)分布的 算術(shù)平均值。

median?

一個只讀特征屬性，表示特定正態(tài)分布的 中位數(shù)。

mode?

一個只讀特征屬性，表示特定正態(tài)分布的 眾數(shù)。

stdev?

一個只讀特征屬性，表示特定正態(tài)分布的 標準差。

variance?

一個只讀特征屬性，表示特定正態(tài)分布的 方差。 等于標準差的平方。

classmethod from_samples(data)?

傳入使用 fmean() 和 stdev() 基于 data 估算出的 mu 和 sigma 形參創(chuàng)建一個正態(tài)分布實例。

data 可以是任何 iterable 并且應當包含能被轉(zhuǎn)換為 float 類型的值。 如果 data 不包含至少兩個元素，則會引發(fā) StatisticsError，因為估算中心值至少需要一個點而估算分散度至少需要兩個點。

samples(n, *, seed=None)?

對于給定的平均值和標準差生成 n 個隨機樣本。 返回一個由 float 值組成的 list。

當給定 seed 時，創(chuàng)建一個新的底層隨機數(shù)生成器實例。 這適用于創(chuàng)建可重現(xiàn)的結(jié)果，即使對于多線程上下文也有效。

pdf(x)?

使用 概率密度函數(shù) (pdf)，計算一個隨機變量 X 趨向于給定值 x 的相對可能性。 在數(shù)學意義上，它是當 dx 趨向于零時比率 P(x <= X < x+dx) / dx 的極限。

相對可能性的計算方法是用一個狹窄區(qū)間內(nèi)某個樣本出現(xiàn)的概率除以區(qū)間的寬度（因此使用“密度”一詞）。 由于可能性是相對于其他點的，它的值可以大于 1.0。

cdf(x)?

使用 累積分布函數(shù) (cdf)，計算一個隨機變量 X 小于等于 x 的概率。 在數(shù)學上，它表示為 P(X <= x)。

inv_cdf(p)?

計算反向累積分布函數(shù)，也稱為 分位數(shù)函數(shù) 或 百分點 函數(shù)。 在數(shù)學上，它表示為 x : P(X <= x) = p。

找出隨機變量 X 的值 x 使得該變量小于等于該值的概率等于給定的概率 p。

overlap(other)?

測量兩個正態(tài)概率分布之間的一致性。 返回介于 0.0 和 1.0 之間的值，給出 兩個概率密度函數(shù)的重疊區(qū)域。

quantiles(n=4)?

將指定正態(tài)分布劃分為 n 個相等概率的連續(xù)分隔區(qū)。 返回這些分隔區(qū)對應的 (n - 1) 個分隔點的列表。

將 n 設為 4 以使用四分位（默認值）。 將 n 設為 10 以使用十分位。將 n 設為 100 以使用百分位，即給出 99 個分隔點來將正態(tài)分布分隔為 100 個大小相等的組。

zscore(x)?

計算 標準分 即以高于或低于正態(tài)分布的平均值的標準差數(shù)值的形式來描述 x: (x - mean) / stdev.

3.9 新版功能.

NormalDist 的實例支持加上、減去、乘以或除以一個常量。 這些運算被用于轉(zhuǎn)換和縮放。 例如：

>>>

>>> temperature_february = NormalDist(5, 2.5)             # Celsius
>>> temperature_february * (9/5) + 32                     # Fahrenheit
NormalDist(mu=41.0, sigma=4.5)

不允許一個常量除以 NormalDist 的實例，因為結(jié)果將不是正態(tài)分布。

由于正態(tài)分布是由獨立變量的累加效應產(chǎn)生的，因此允許表示為 NormalDist 實例的 兩組獨立正態(tài)分布的隨機變量相加和相減。 例如：

>>>

>>> birth_weights = NormalDist.from_samples([2.5, 3.1, 2.1, 2.4, 2.7, 3.5])
>>> drug_effects = NormalDist(0.4, 0.15)
>>> combined = birth_weights + drug_effects
>>> round(combined.mean, 1)
3.1
>>> round(combined.stdev, 1)
0.5

3.8 新版功能.

>>> sat = NormalDist(1060, 195)
>>> fraction = sat.cdf(1200 + 0.5) - sat.cdf(1100 - 0.5)
>>> round(fraction * 100.0, 1)
18.4

>>> list(map(round, sat.quantiles()))
[928, 1060, 1192]
>>> list(map(round, sat.quantiles(n=10)))
[810, 896, 958, 1011, 1060, 1109, 1162, 1224, 1310]

>>> def model(x, y, z):
...     return (3*x + 7*x*y - 5*y) / (11 * z)
...
>>> n = 100_000
>>> X = NormalDist(10, 2.5).samples(n, seed=3652260728)
>>> Y = NormalDist(15, 1.75).samples(n, seed=4582495471)
>>> Z = NormalDist(50, 1.25).samples(n, seed=6582483453)
>>> quantiles(map(model, X, Y, Z))       
[1.4591308524824727, 1.8035946855390597, 2.175091447274739]

>>> n = 750             # Sample size
>>> p = 0.65            # Preference for Python
>>> q = 1.0 - p         # Preference for Ruby
>>> k = 500             # Room capacity

>>> # Approximation using the cumulative normal distribution
>>> from math import sqrt
>>> round(NormalDist(mu=n*p, sigma=sqrt(n*p*q)).cdf(k + 0.5), 4)
0.8402

>>> # Solution using the cumulative binomial distribution
>>> from math import comb, fsum
>>> round(fsum(comb(n, r) * p**r * q**(n-r) for r in range(k+1)), 4)
0.8402

>>> # Approximation using a simulation
>>> from random import seed, choices
>>> seed(8675309)
>>> def trial():
...     return choices(('Python', 'Ruby'), (p, q), k=n).count('Python')
>>> mean(trial() <= k for i in range(10_000))
0.8398

>>> height_male = NormalDist.from_samples([6, 5.92, 5.58, 5.92])
>>> height_female = NormalDist.from_samples([5, 5.5, 5.42, 5.75])
>>> weight_male = NormalDist.from_samples([180, 190, 170, 165])
>>> weight_female = NormalDist.from_samples([100, 150, 130, 150])
>>> foot_size_male = NormalDist.from_samples([12, 11, 12, 10])
>>> foot_size_female = NormalDist.from_samples([6, 8, 7, 9])

>>> ht = 6.0        # height
>>> wt = 130        # weight
>>> fs = 8          # foot size

>>> prior_male = 0.5
>>> prior_female = 0.5
>>> posterior_male = (prior_male * height_male.pdf(ht) *
...                   weight_male.pdf(wt) * foot_size_male.pdf(fs))

>>> posterior_female = (prior_female * height_female.pdf(ht) *
...                     weight_female.pdf(wt) * foot_size_female.pdf(fs))

>>> 'male' if posterior_male > posterior_female else 'female'
'female'